viernes, 1 de julio de 2011

El hombre anumérico.









Sangre, montañas y hamburguesas 

En una columna sobre anumerismo en Scientific American, el informático Douglas Hofstadter cita el caso de la Ideal Toy Company, que en el envoltorio del cubo de Rubik afirmaba que el cubo admitía más de tres mil millones de configuraciones distintas. Si uno lo calcula, obtiene que las configuraciones posibles son más de 4 × 1019, un 4 seguido de 19 ceros. La frase del envoltorio es cierta, las configuraciones posibles son, en efecto, más de tres mil millones. La subestimación que supone esa cifra es, sin embargo, un síntoma de un omnipresente anumerismo que encaja muy mal en una sociedad tecnológicamente avanzada. Es como si en la entrada del Lincoln Túnel hubiera un rótulo anunciando: Nueva York, más de 6 habitantes; o como si McDonald se vanagloriara de haber vendido más de 120 hamburguesas.
El número de 4 × 1019 no es lo que se dice frecuente, pero sí lo son cifras como diez mil, un millón o un billón. Para poder establecer comparaciones rápidamente, deberíamos disponer de ejemplos de conjuntos que constarán de un millón de elementos, de mil millones, etc. Por ejemplo, saber que un millón de segundos sólo duran aproximadamente once días y medio, mientras que para que pasen mil millones de segundos hay que esperar casi 32 años, nos permite formarnos una idea más clara de la magnitud relativa de dichos números. ¿Y los billones? La edad del homo sapiens moderno es probablemente menor que 10 billones de segundos, y la total desaparición de la variante Neanderthal del primitivo homo sapiens ocurrió hace sólo un billón de segundos. La agricultura apareció hace unos 300 mil millones de segundos (diez mil años), la escritura hace unos 150 mil millones de segundos, y tenemos música rock desde hace tan sólo unos mil millones de segundos. (...)
En general estos cálculos son muy fáciles y a menudo resultan sugerentes. Por ejemplo: ¿Cuál es el volumen total de la sangre humana existente en el mundo? El macho adulto medio tiene unos cinco litros de sangre, la hembra adulta un poco menos, y los niños bastante menos. Así, si calculamos que en promedio cada uno de los 5 mil millones de habitantes de la tierra tiene unos cuatro litros de sangre, llegamos a que hay unos 20 mil millones (2 × 1010) de litros de sangre humana. Como en cada metro cúbico caben 1.000 litros, hay aproximadamente 2 × 107 metros cúbicos de sangre. La raíz cúbica de 2 × 107 es 270. Por tanto, ¡toda la sangre del mundo cabría en un cubo de unos 270 metros de largo, un poco más de un dieciseisavo de kilómetro cúbico!
El área del Central Park de Nueva York es de hectáreas, esto es unos 3,34 kilómetros cuadrados. Si lo rodeáramos con una pared, toda la sangre del mundo sólo alcanzaría para llenarlo hasta una altura de unos seis metros. El Mar Muerto, situado en la frontera entre Israel y Jordania, tiene una superficie de unos 1.000 kilómetros cuadrados. Si vertiéramos toda la sangre del mundo en el Mar Muerto, sus aguas sólo subirían dos centímetros. Estas cifras resultan del todo sorprendentes, incluso fuera de su contexto: ¡no hay tanta sangre en el mundo! Si comparamos su volumen con el de toda la hierba, todas las hojas o todas las algas del mundo, queda clarísima la posición marginal del hombre entre las demás formas de vida, por lo menos en lo que a volumen se refiere. (...)
Y para terminar daremos otro ejemplo de cálculo terrenal que suele usar un asesor científico del MIT para eliminar aspirantes en las entrevistas de selección de personal: pregunta cuánto se tardaría en hacer desaparecer una montaña aislada, como el Fujiyama japonés por ejemplo, transportándola con camiones. Supóngase que, durante todo el día, llega un camión cada 15 minutos, es cargado instantáneamente de tierra y piedras, y se va sin interrumpir al siguiente camión. Daremos la respuesta más adelante, anticipando que el resultado es un tanto sorprendente.

Los números colosales y los 400 de Forbes

El tema de los cambios de escala ha sido uno de los pilares de la literatura mundial, desde la Biblia hasta los liliputienses de Swift, y desde Paul Bunyan hasta el colosal Gargantúa de Rabelais. Siempre me ha chocado, sin embargo, la inconsistencia que han mostrado los distintos autores en su empleo de los números grandes.
Se dice que el niño Gargantúa se tomaba la leche de 17.913 vacas. De joven fue a estudiar a París montado en una yegua que abultaba como seis elefantes y llevaba colgadas del cuello las campanas de Nôtre Dame a modo de cascabeles. En el camino de vuelta a casa, fue atacado a cañonazos desde un castillo y se sacó las bombas del pelo con un rastrillo de 300 metros de longitud. Para hacerse una ensalada cortaba lechugas del tamaño de un nogal y devoraba media docena de peregrinos que se habían refugiado en la arboleda. ¿Pueden apreciar las inconsistencias internas de este cuento?
El Génesis dice que durante el Diluvio «… quedaron cubiertos todos los montes sobre la faz de la tierra…». Si se toma esto literalmente, resulta que la capa de agua sobre la tierra tendría entre 5.000 ó 6.000 metros de grosor, lo que equivale a más de 2.500 millones de kilómetros cúbicos de agua. Como según el relato bíblico del Diluvio duró 40 días con sus noches, es decir sólo 960 horas, la tasa de caída de la lluvia ha de haber sido por lo menos de cinco metros por hora, suficiente para echar a pique un avión y con mayor motivo un arca cargada con miles de animales a bordo.
Darse cuenta de inconsistencias internas como ésas es uno de los placeres menores de tener cierta cultura numérica. Lo importante, sin embargo, no es que uno esté analizando permanentemente la consistencia y la plausibilidad de los números, sino que, cuando haga falta, pueda recoger información de los puros datos numéricos, y que pueda refutar afirmaciones, basándose sólo en las cifras que las acompañan. Si la gente estuviera más capacitada para hacer estimaciones y cálculos sencillos, se sacarían (o no) muchas conclusiones obvias, y no se tendrían en consideración tantas opiniones ridículas.
Antes de volver a Rabelais, consideraremos dos alambres colgantes con la misma sección transversal. (Seguro que es la primera vez que se imprime esta frase.) Las fuerzas que actúan sobre los alambres son proporcionales a sus masas y éstas son proporcionales a sus respectivas longitudes. Como las áreas de las secciones transversales de los alambres son iguales, la tensión de cada uno, la fuerza dividida por el área de la sección transversal, varía en proporción directa a la longitud del alambre. Un alambre diez veces más largo que otro soportará una tensión diez veces mayor. Con un razonamiento análogo se demuestra que de dos puentes geométricamente semejantes, hechos del mismo material, el más débil es necesariamente el mayor.
Por la misma razón, no se puede aumentar de escala un hombre desde unos dos metros hasta diez. Al multiplicar por cinco la altura, su peso aumentará en un factor 53, mientras que su capacidad para sostener peso —dada por el área de la sección transversal de sus huesos— aumentará sólo en un factor 52. Los elefantes son grandes, a costa de tener unas patas muy gruesas, mientras que las ballenas son relativamente inmunes a este efecto por estar sumergidas en el agua.
Aunque en la mayoría de situaciones los aumentos y disminuciones de escala dan primeras aproximaciones razonablemente buenas, a menudo dan malos resultados, como lo prueban muchos ejemplos mundanos. Que el precio del pan suba un 6 por ciento no significa que los yates vayan a subir también un 6 por ciento. Si una empresa crece hasta un tamaño veinte veces mayor que el que tenía al empezar, las proporciones relativas a sus distintos departamentos no tienen por qué seguir siendo las mismas. Si la ingestión de mil gramos de cierta sustancia hace que una de cada cien ratas contraiga cáncer, no podemos concluir inmediatamente que la ingestión de sólo cien gramos hará que lo contraiga una de cada mil ratas.
En cierta ocasión escribí a una minoría importante de los 400 de Forbes, una lista de los cuatrocientos norteamericanos más ricos, pidiéndoles 25.000 dólares como subvención a un proyecto en el que estaba trabajando en aquel tiempo. La fortuna media de las personas con las que me puse en contacto era aproximadamente de unos 400 millones de dólares (4 × 108, un número de dólares verdaderamente colosal) y yo sólo pedía 1/16.000 de esta cantidad. Tenía la esperanza de que la proporcionalidad lineal valdría también en este caso, y me animaba pensando que si algún extraño me escribiera pidiendo una ayuda para un proyecto interesante y me solicitara 25 dólares, mucho más de 1/16.000 de mi propia fortuna, probablemente le contestaría afirmativamente. Pero ¡ay!, aunque recibí bastantes respuestas amables, no conseguí ni cinco.

Arquímedes y los números Prácticamente infinitos

La arquimedianidad es una propiedad fundamental de los números (llamada así por el matemático griego Arquímedes), según la cual se puede rebasar cualquier número, por grande que sea, agregando repetidas veces cualquier número menor, Por pequeño que éste sea. Aunque esta Propiedad sea en principio evidente, a veces la gente se resiste a aceptar sus consecuencias, como ese alumno mío que sostenía que el cabello humano no crece a razón de kilómetros por hora. Desgraciadamente, la agregación de los nanosegundos empleados en una operación simple de ordenador provoca largos embotellamientos en los problemas intratables, muchos de los cuales tardarían milenios en ser resueltos. No es sencillo acostumbrarse al hecho de que los tiempos y distancias minúsculos de la microfísica, y también la inmensidad de los fenómenos astronómicos, comparten las dimensiones de nuestro mundo a escala humana.
Está claro, pues, cómo la propiedad anterior llevó a Arquímedes a su famosa afirmación de que si le dieran un punto de apoyo, una palanca lo bastante larga y un lugar donde situarse, podría, él solo, levantar la tierra. La inconsciencia de la aditividad de las pequeñas cantidades es otro defecto de los anuméricos, que por lo visto no se acaban de creer que sus pequeños aerosoles de laca para el cabello puedan atacar en lo más mínimo la capa de ozono de la atmósfera, o que su automóvil particular contribuya, al problema de la lluvia ácida.
Por impresionantes que resulten las pirámides, se construyeron piedra a piedra en un tiempo mucho menor que los cinco mil o diez mil años que harían falta para transportar con camiones el Fujiyama con sus 4.000 metros de altura. Se atribuye a Arquímedes un cálculo parecido, aunque más clásico. Calculó el número de granos de arena necesarios para llenar la tierra y los cielos. Aunque no disponía de la notación exponencial, inventó algo similar, y sus cálculos fueron en esencia equivalentes a lo que sigue.
Interpretando «la tierra y los cielos», como, una esfera centrada en la tierra, empezamos por observar que el número de granos de arena que harían falta para llenarla depende tanto del radio de la esfera como del grosor de la arena. Suponiendo que quepan quince granos por pulgada lineal, cabrán 15 × 15 granos por pulgada cuadrada y 153 granos por pulgada cúbica. Como un pie son 12 pulgadas, hay 123 pulgadas en cada pie cúbico y por tanto habrá 153 × 123 granos en cada pie cúbico. Del mismo modo, habrá 153 × 123 × 5.2803 granos por milla cúbica. Teniendo ahora en cuenta la fórmula del volumen de la esfera: 4/3 × pi × el radio al cubo, veremos que el número de granos de arena necesarios para llenar una esfera de un billón de millas de radio (más o menos la estimación hecha por Arquímedes) es 4/3 × pi × 1000.000.0003 × 153 × 123 × 5.2803, que da aproximadamente 1054 granos de arena. (...)
Suponiendo que un ser humano tenga forma esférica y más o menos un metro de diámetro (piénsese en una persona en cuclillas), acabaremos con unas cuantas comparaciones biológicamente reveladoras que son más fáciles de imaginar. El tamaño de una célula es al de una persona como el de ésta al de Rhode Island. Del mismo modo, un virus es a una persona como una persona a la tierra; un átomo es a una persona como ésta a la órbita de la tierra alrededor del sol, y un protón es a una persona como una persona a la distancia a Alfa Centauro.

John Allen Paulos, El hombre anumérico.


2 comentarios:

  1. Si hiciéramos una pila con los pelos de las hembras y otra, de igual base, con los de los machos.
    En nuestra especie se subirìa o bajarìa yendo del primero al segundo?.
    Se podría?

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  2. La verdad es que es una pregunta interesante pero desgraciadamente no tengo la capacidad para responderla. Aunque estoy convencida de que alguien con las habilidades matemáticas necesarias podría aclararlo :)

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